Matematyczny Kalendarz Adwentowy

Seniorzy 2020

Lista zadań

Zadanie z dnia 2020-11-29

Płaszczyzna \(\Pi\) nie przechodzi przez żaden wierzchołek czworościanu \(ABCD\). Liczba krawędzi tego czworościanu, które przecina płaszczyzna \(\Pi\), może być równa:

(A) \(2\);
(B) \(3\);
(C) \(4\);
(D) \(5\);
(E) \(6\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BC

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(B) Jeśli po jednej stronie płaszczyzny \(\Pi\) leży jeden wierzchołek czworościanu, a po drugiej trzy, to przecina ona trzy krawędzie.

(C) Jeśli po każdej stronie płaszczyzny \(\Pi\) znajdują się dwa wierzchołki czworościanu, to przecina ona \(4\) krawędzie.

(A,B,D) Oprócz dwóch wymienionych jest jeszcze tylko jedna możliwość – wszystkie cztery wierzchołki czworościanu leżą po tej samej stronie płaszczyzny \(\Pi\). Wtedy żadna krawędź nie jest przecięta.

Zadanie z dnia 2020-11-30

Istnieje liczba naturalna \(n\), dla której ostatnią niezerową cyfrą liczby \(n!\) jest:

(A) \(4\);
(B) \(5\);
(C) \(6\);
(D) \(7\);
(E) \(8\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ACE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A,C,E) Przykłady: \(4!=24\), \(3!=6\), \(9!=362880\).

(B,D) Dla \(n>1\) liczbę \(n!\) można zapisać w postaci \(2^\alpha\cdot5^\beta\cdot m\), w której \(\alpha>\beta\) oraz \(2,5\nmid m\). Wobec tego ostatnia niezerowa cyfra liczby \(n!\) jest taka sama, jak ostatnia cyfra liczby \(2^{\beta-\alpha}\cdot m\), czyli jest parzysta.

Zadanie z dnia 2020-12-01

Dany jest trójkąt \(ABC\). Na odcinku \(AB\) wybrano punkty \(P\) i \(Q\), dla których \(|AP|=|PQ|=|QB|\). Półproste \(CP\) i \(CQ\) dzielą kąt \(ACB\) na kąty o miarach kolejno \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (kąt \(\beta\) jest w środku). Z tego wynika, że:

(A) \(\alpha=\beta=\gamma\);
(B) \(\alpha < \beta\) i \(\gamma < \beta\);
(C) \(\alpha < \beta\) lub \(\gamma < \beta\);
(D) \(\alpha+\gamma > \beta\);
(E) \(|\alpha-\gamma| < \beta\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

C

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(C) Niech \(X\) będzie rzutem prostopadłym punktu \(C\) na prostą \(AB\). Jeśli \(X\) leży na półprostej \(QA^\to\), to \(\gamma\le\beta\), a jeśli na półprostej \(PB^\to\), to \(\alpha\le\beta\). Równość w pierwszej z nierówności zachodzi tylko dla \(X=Q\), a w drugiej tylko dla \(X=P\), więc co najmniej jedna z nich zachodzi i jest ostra.

(A,B,D,E) Jest jasne, że \(\alpha+\beta+\gamma=|\angle ACB| < 180^\circ\). Jeśli punkt \(C\) jest położony blisko środka odcinka \(PQ\), to \(\beta\) jest bliskie \(180^\circ\), a dla \(\beta>90^\circ\) warunki (A) i (D) nie mogą zajść. Analogicznie, gdy punkt \(C\) leży blisko środka odcinka \(AP\), to \(\alpha\) jest bliskie \(180^\circ\), a dla \(\alpha>90^\circ\) nie mogą zajść warunki (B) i (E).

Zadanie z dnia 2020-12-02

W wierzchołkach \(99\)-kąta foremnego wpisano liczby rzeczywiste. Suma liczb wpisanych w każdych trzech kolejnych wierzchołkach jest równa \(0\). Z tego wynika, że wśród tych liczb:

(A) są same zera;
(B) występują ujemne i dodatnie;
(C) pewne dwie są równe;
(D) jest tyle samo ujemnych i dodatnich;
(E) suma najmniejszej i największej wynosi \(0\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

C

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(C) Niech \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) będą liczbami wpisanymi w cztery kolejne wierzchołki. Z równości \[ a_1+a_2+a_3=0=a_2+a_3+a_4 \] otrzymujemy \(a_1=a_4\). Wynika z tego, że liczby wpisane w co trzecim wierzchołku są równe.

(A,D,E) Kontrprzykład: \(-2\) w co trzecim wierzchołku, a w pozostałych wierzchołkach jedynki.

(B) Kontrprzykład: zera we wszystkich wierzchołkach.

Zadanie z dnia 2020-12-03

W ten sam okrąg wpisano \(2019\)-kąt foremny, \(2020\)-kąt foremny i \(2021\)-kąt foremny, przy czym żadne dwa z nich nie mają wspólnego wierzchołka. Boki \(2019\)-kąta pokolorowano na niebiesko, \(2020\)-kąta na czerwono, a \(2021\)-kąta na zielono. Nazwijmy odcinek przeciętym \(k\)-krotnie, jeśli przecina go dokładnie \(k\) odcinków innego koloru. Powiemy krótko, że ten odcinek jest przecięty, jeśli \(k\ge1\). Z tego wynika, że:

(A) każdy niebieski odcinek jest przecięty;
(B) każdy czerwony odcinek jest przecięty;
(C) każdy zielony odcinek jest przecięty;
(D) każdy niebieski odcinek jest przecięty \(4\)-krotnie;
(E) co najmniej jeden z kolorowych odcinków jest przecięty \(1\)-krotnie.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ABD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Nazwijmy niebieskimi wierzchołki \(2019\)-kąta oraz łuki okręgu, które wyznaczają jego boki; analogicznie dla czerwonych i zielonych. Zauważmy najpierw, że niebieskie łuki są najdłuższe, a zielone najkrótsze, przy czym niebieskie łuki mają długość mniejszą niż dwukrotność długości czerwonych.

(A,B,D) Na każdym niebieskim i czerwonym łuku leży \(1\) lub \(2\) zielone wierzchołki, więc odpowiadające tym łukom odcinki są przecięte przez dokładnie dwa zielone odcinki. Dodatkowo, analogicznie, każdy odcinek niebieski jest przecięty przez dokładnie dwa czerwone.

(C) Pewien zielony odcinek może mieć oba końce na pewnym czerwonym łuku, który jest w całości zawarty w pewnym łuku niebieskim. Wtedy ten zielony odcinek nie jest przecięty.

(E) Każdy odcinek jest przecięty parzystokrotnie – krotność jego przecięcia jest dwa razy większa od liczby różnych kolorów punktów, które znajdują się na wyznaczonym przez niego łuku.

Zadanie z dnia 2020-12-04

Niech \(n\ge10\) będzie liczbą naturalną. Wówczas w zapisie dziesiętnym liczba \(n^2\) może mieć wszystkie cyfry:

(A) parzyste;
(B) nieparzyste;
(C) uporządkowane rosnąco;
(D) uporządkowane malejąco;
(E) równe.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ACD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A,C,D) Przykłady: \(20^2=400\), \(13^2=169\), \(31^2=961\).

(B) Niech \(a\) będzie ostatnią cyfrą liczby \(n\). Możemy zapisać \(n=a+10k\) dla pewnej liczby całkowitej dodatniej \(k\). Wtedy \(n^2=a^2+20ak+100k^2\), więc liczby \(n^2\) i \(a^2\) dają takie same reszty z dzielenia przez \(20\). Dla \(a\) parzystych ostatnia cyfra liczby \(n^2\) jest parzysta. Bezpośrednio sprawdzamy, że dla nieparzystych \(a\) liczba \(a^2\) (a więc i \(n^2\)) daje resztę z dzielenia przez \(20\) równą \(1\), \(5\) lub \(9\) – wtedy przedostatnia cyfra liczby \(n\) jest parzysta.

(E) Kwadrat liczby naturalnej daje resztę z dzielenia przez \(4\) równą \(0\) lub \(1\), co eliminuje liczby \(1\ldots11\), \(2\ldots22\), \(5\ldots55\), \(6\ldots66\) i \(9\ldots99\). Kwadrat liczby naturalnej daje resztę z dzielenia przez \(5\) równą \(0\), \(1\) lub \(4\), co pozwala jeszcze odrzucić \(3\ldots33\), \(7\ldots77\) i \(8\ldots88\). Zostaje \(n^2=4\ldots44\), ale wtedy \((n/2)^2=1\ldots11\), co jest niemożliwe, jak wykazaliśmy wcześniej.

Zadanie z dnia 2020-12-05

Na płaszczyźnie leżą proste \(\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_{15}\). Miara kąta pomiędzy prostymi \(\ell_i\) i \(\ell_{i+1}\) jest równa \(i\) stopni dla \(i=1,2,\ldots,14\). Miara kąta pomiędzy prostymi \(\ell_1\) i \(\ell_{15}\) może być równa:

(A) \(0^\circ\);
(B) \(30^\circ\);
(C) \(45^\circ\);
(D) \(60^\circ\);
(E) \(90^\circ\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

C

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Miara kąta pomiędzy \(\ell_1\) i \(\ell_{15}\), wyrażona w stopniach, wynosi \[ k\cdot180 \pm1 \pm2 \pm3 \pm\ldots \pm 14, \] przy czym \(k\) jest pewną liczbą całkowitą.

(C) \(45=1+2+3+4+5+6+7+8-9-10-11+12+13+14\).

(A,B,D,E) Zauważmy, że \(1+2+\ldots+14=105\), więc niezależnie od \(k\) oraz znaków \(\pm\) wynik jest liczbą nieparzystą.

Zadanie z dnia 2020-12-06

Pięć różnych liczb całkowitych dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) spełnia równość \[ a^2+b^2+c^2=d^2+e^2. \] Wynika z tego, że iloczyn \(abcde\) dzieli się przez:

(A) \(3\);
(B) \(4\);
(C) \(5\);
(D) \(7\);
(E) \(9\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

AB

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A) Możliwe reszty z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(3\) to \(0\) i \(1\). Nie może być tak, że wszystkie liczby \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\), \(d^2\), \(e^2\) dają resztę \(1\), więc któraś z nich dzieli się przez \(3\). Jeśli \(3\mid n^2\) dla pewnego naturalnego \(n\), to \(3\mid n\).

(B) Możliwe reszty z dzielenia kwadratu liczby naturalnej przez \(8\) to \(0\), \(1\) i \(4\). Jeśli \(0\) się nie pojawia, to liczby \(a^2+b^2+c^2\) i \(d^2+e^2\) dają różne reszty z dzielenia przez \(8\), więc nie mogą być one równe. Pozostaje zauważyć, że jeśli \(8\mid n^2\), to \(4\mid n\).

(C,D,E) Kontrprzykład: \(4^2+6^2+11^2=2^2+13^2\).

Zadanie z dnia 2020-12-07

Wszystkie ściany pewnego wielościanu wypukłego są wielokątami foremnymi, ale nie wszystkie mają po tyle samo boków. Liczba ścian tego wielościanu może być równa:

(A) \(4\);
(B) \(5\);
(C) \(6\);
(D) \(7\);
(E) \(8\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BCDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(B,D,E) Przykład dla \(n=5,7,8\) ścian: graniastosłup, którego podstawy są \((n-2)\)-kątami foremnymi, a ściany boczne kwadratami.

(C) Przykład: ostrosłup pięciokątny, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

(A) Każdy czworościan ma wyłącznie trójkątne ściany.

Zadanie z dnia 2020-12-08

Pięć spośród wierzchołków dwudziestościanu foremnego pokolorowano na czerwono, a pozostałe na niebiesko. Z tego wynika, że:

(A) pewna krawędź tego dwudziestościanu ma dwa czerwone końce;
(B) pewna ściana tego dwudziestościanu ma trzy niebieskie wierzchołki;
(C) pewne trzy czerwone wierzchołki wyznaczają płaszczyznę prostopadłą do odcinka łączącego pewne dwa niebieskie;
(D) pewne trzy czerwone wierzchołki wyznaczają trójkąt równoramienny;
(E) pewne cztery niebieskie wierzchołki leżą na jednej płaszczyźnie.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ABCDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(AB\) będzie jedną z głównych przekątnych dwudziestościanu foremnego. Pozostałe wierzchołki znajdują się na dwóch pięciokątach foremnych, których boki są krawędziami dwudziestościanu. Nazwijmy te pięciokąty \(\mathcal{P}_A\) i \(\mathcal{P}_B\), przy czym wierzchołki pięciokąta \(\mathcal{P}_A\) są połączone krawędzią z wierzchołkiem \(A\), a wierzchołki \(\mathcal{P}_B\) z \(B\).

(A) Niech \(A\) będzie jednym z czerwonych wierzchołków. Jeśli któryś z wierzchołków pięciokąta \(\mathcal{P}_A\) jest czerwony, to dwudziestościan ma krawędź o czerwonych końcach. W przeciwnym razie co najmniej trzy spośród wierzchołków pięciokąta \(\mathcal{P}_B\) są czerwone, więc pewne dwa sąsiednie są czerwone.

(B,C,D) Ponieważ wierzchołków niebieskich jest więcej niż wynosi połowa liczby wierzchołków dwudziestościanu, jedna z głównych jego przekątnych ma niebieskie końce – niech to będzie \(AB\). Pozostaje pięć niebieskich wierzchołków, więc bez utraty ogólności można założyć, że co najmniej trzy z nich należą do pięciokąta \(\mathcal{P}_A\). Pewien bok tego pięciokąta ma zatem niebieskie końce, które wraz z wierzchołkiem \(A\) wyznaczają ścianę o niebieskich wierzchołkach. Ponadto co najmniej trzy czerwone wierzchołki należą do \(\mathcal{P}_B\), którego płaszczyzna jest prostopadła do \(AB\). Te trzy wierzchołki wyznaczają również trójkąt równoramienny – jest to własność dowolnych trzech wierzchołków pięciokąta foremnego.

(E) Ponieważ liczba niebieskich punktów jest nieparzysta, pewna główna przekątna dwudziestościanu ma jeden koniec czerwony, a drugi niebieski. Niech to będzie \(AB\). Pozostaje więc sześć niebieskich wierzchołków na pięciokąty \(\mathcal{P}_A\) i \(\mathcal{P}_B\). Jeśli cztery wierzchołki któregoś z nich są niebieskie, to leżą na jednej płaszczyźnie. W przeciwnym razie po trzy wierzchołki każdego z nich są niebieskie. Proste i przekątne pięciokąta \(\mathcal{P}_A\) wyznaczają pięć kierunków i są to te same kierunki, które wyznaczają proste i przekątne pięciokąta \(\mathcal{P}_B\). Ponieważ trzy niebieskie wierzchołki wyznaczają trzy kierunki, łącznie na płaszczyznach obu pięciokątów wyznaczonych jest ich \(6\) – czyli pewne dwie krawędzie o niebieskich końcach są równoległe. Ich końce leżą na jednej płaszczyźnie.

Zadanie z dnia 2020-12-09

Wysokości trójkąta \(ABC\), opuszczone z wierzchołków \(A\) i \(B\), mają długości odpowiednio \(3\) i \(4\). Pole trójkąta \(ABC\) może być równe:

(A) \(5\);
(B) \(6\);
(C) \(10\);
(D) \(20\);
(E) \(50\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BCDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(\gamma=|\angle ACB|\) oraz \(a=|BC|\) i \(b=|CA|\). Wtedy \(a\sin\gamma=4\) i \(b\sin\gamma=3\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \[ P=\frac12ab\sin\gamma = \frac12\frac4{\sin\gamma}\frac3{\sin\gamma}\sin\gamma = \frac{6}{\sin\gamma}. \]

(B,C,D,E) Dla każdego \(P\ge6\) wybieramy taki kąt \(\gamma\), że \(\sin\gamma=\frac6P\) oraz kładziemy \(a=\frac23P\) i \(b=\frac12P\). Wtedy pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(P\), a wysokości opuszczone z wierzchołków \(A\) i \(B\) mają długości \(3\) i \(4\).

(A) \(\sin\gamma\le1\), więc \(P=6/\sin\gamma\ge6>5\).

Zadanie z dnia 2020-12-10

Mamy do dyspozycji \(n\) prostokątnych płytek, po jednej w każdym z rozmiarów: \[ 1\times1, \quad 1\times3, \quad 1\times5, \quad \ldots, \quad 1\times (2n-1). \] Chcemy z nich ułożyć prostokąt. Wówczas dla nieskończenie wielu \(n\):

(A) można ułożyć kwadrat;
(B) można ułożyć prostokąt o proporcji boków \(3:1\);
(C) można ułożyć prostokąt o proporcji boków \(4:1\);
(D) można ułożyć prostokąt, w którym długość jednego z boków jest liczbą pierwszą;
(E) jedyny prostokąt, który można ułożyć, ma szerokość \(1\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

CDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Przypomnijmy, że \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\).

(C,D) Niech \(n=2p\) dla pewnej liczby pierwszej \(p\). Dla \(i=1,2,\ldots,p\) z prostokątów \(1\times(2i-1)\) i \(1\times(2n-2i+1)\) składamy prostokąt \(1\times4p\). Z tych prostokątów można ułożyć prostokąt \(p\times4p\).

(E) Jeśli \(n\) jest liczbą pierwszą, to są tylko dwa prostokąty o polu \(n^2\) i bokach całkowitoliczbowych: \(1\times n^2\) i \(n\times n\). Udowodnimy, że kwadratu nie można ułożyć (punkt A), więc pozostaje tylko \(1\times n^2\).

(A) Dla \(n>1\) prostokąt \(1\times(2n-1)\) nie mieści się w kwadracie \(n\times n\).

(B) Jeśli \(n^2=k\cdot3k\) dla pewnego naturalnego \(k\), to \(\sqrt{3}=n/k\), a to niemożliwe.

Zadanie z dnia 2020-12-11

Sześcian rozcięto na \(n\) sześcianów, niekoniecznie przystających. Liczba \(n\) może być równa:

(A) \(2020\);
(B) \(2021\);
(C) \(2022\);
(D) \(2023\);
(E) \(2024\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ABCDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A,B,C,D,E) Jeżeli możemy podzielić sześcian na \(k\) sześcianów, to możemy również podzielić go na \(k+a^3-1\) sześcianów dla pewnego naturalnego \(a\ge2\) – wystarczy dodatkowo jeden z sześcianów podzielić na \(a^3\) mniejszych. Wynika z tego indukcyjnie, że podział na \(1+7x+26y\) jest możliwy dla wszystkich całkowitych nieujemnych \(x\) i \(y\) (bierzemy \(a=2\) lub \(a=3\)). Pozostaje zauważyć, że \[ 2020+t = 1 + (281-11t)\cdot7 + (2+3t)\cdot 26 \] dla \(t=0,1,2,3,4\).

Zadanie z dnia 2020-12-12

Na płaszczyźnie znajdują się cztery różne punkty. Długość każdego z sześciu wyznaczonych przez nie odcinków jest równa \(a\) lub \(1\), przy czym \(a>1\). Liczba \(a\) może być równa:

(A) \(\sqrt2\);
(B) \(\sqrt3\);
(C) \(\sqrt{2+\sqrt3}\);
(D) \(\sqrt5\);
(E) liczbie innej niż te wymienione w punktach A, B, C, D.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ABCE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) będą tymi czterema punktami.

(A) Gdy \(PQRS\) jest kwadratem.

(B) Gdy \(PQRS\) jest rombem o kącie ostrym \(60^\circ\).

(C) Gdy \(PQR\) jest trójkątem równobocznym, a odcinki \(PQ\) i \(RS\) są równej długości i przecinają się pod kątem prostym.

(E) Jeśli \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) są wierzchołkami pięciokąta foremnego, to \(a=\frac{\sqrt5+1}2\).

(D) Przypuśćmy, że \(a>2\). Jeśli pewne dwa z punktów \(P\), \(Q\), \(R\) są końcami odcinka długości \(a\), to ponieważ \(a>2\), jeszcze co najmniej jedna para z tej trójki wyznacza odcinek o długości \(a\). Analogicznie jest dla pozostałych trójek punktów. Stosując tę zależność kilka razy, dowodzimy, że z dokładnością do permutacji wierzchołków czworokąt \(PQRS\) jest rombem o boku \(a\), co łatwo prowadzi do sprzeczności – co najmniej jedna z jego przekątnych ma długość większą od \(a\). Z tego wynika, że \(a\le2\), czyli w szczególności \(a\neq\sqrt5\).

Zadanie z dnia 2020-12-13

Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, których nie da się przedstawić w postaci sumy:

(A) liczby pierwszej i liczby złożonej;
(B) liczby pierwszej i kwadratu liczby złożonej;
(C) liczby złożonej i kwadratu liczby pierwszej;
(D) kwadratu liczby pierwszej i sześcianu liczby złożonej;
(E) kwadratu liczby złożonej i sześcianu liczby pierwszej.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BDE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(B) Niech \(k\) będzie liczbą całkowitą dodatnią. Przypuśćmy, że \((3k+2)^2=a^2+p\) dla pewnej liczby złożonej \(a\) i pewnej liczby pierwszej \(p\). Wtedy \[ p = (3k+2)^2-a^2 = (3k+2+a)(3k+2-a), \] z czego otrzymujemy \(3k+2-a=1\) i \(3k+2+a=p\). Po dodaniu stronami tych równości dostaniemy sprzeczność \(p=3(2k+1)\). Zatem liczby \((3k+2)^2\) dla całkowitych dodatnich \(k\) nie dają się przedstawić w postaci sumy liczby pierwszej i kwadratu liczby złożonej.

(D,E) Niech \(f(N)\) oznacza liczbę tych naturalnych \(n\le N\), które można przedstawić w postaci \(a^2+b^3\) dla pewnych całkowitych dodatnich \(a\) i \(b\). Nie przekracza ona liczby takich par \((a,b)\), dla których \(a^2+b^3\le N\) – oznaczmy liczbę tych par przez \(g(N)\). Aby ta nierówność zaszła, warunkami koniecznymi są \(a\le\sqrt{N}\) i \(b\le\sqrt[3]{N}\), co daje nam oszacowanie \[ f(N) \le g(N) \le \sqrt{N}\cdot\sqrt[3]{N} = N^{5/6}. \] Z tego wynika, że co najmniej \(N-N^{5/6}\) liczb mniejszych lub równych \(N\) nie da się przedstawić w żądanej postaci. Pozostaje zauważyć, że \(N-N^{5/6}\to\infty\) przy \(N\to\infty\).

(A) Każdą liczbę naturalna \(n\ge6\) można zapisać w postaci \(2+2k\) lub \(3+2k\), przy czym \(k\ge2\) jest naturalna.

(C) Każdą liczbę naturalna \(n\ge10\) można zapisać w postaci \(4+2k\) lub \(9+2k\), przy czym \(k\ge4\) jest naturalna.

Zadanie z dnia 2020-12-14

Liczby \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) są rzeczywiste. Rozważmy ciąg \[ \big(ab+a+b,\ bc+b+c,\ cd+c+d,\ de+d+e,\ ea+e+a \big) \] Liczba wyrazów tego ciągu, które są mniejsze od \(-1\), może być równa:

(A) \(1\);
(B) \(2\);
(C) \(3\);
(D) \(4\);
(E) \(5\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ABCD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(a'=a+1\), \(b'=b+1\), \(c'=c+1\), \(d'=d+1\) i \(e'=e+1\). Zauważmy, że \[ ab+a+b < -1 \iff (a+1)(b+1) < 0 \iff a'b' < 0, \] analogicznie dla pozostałych nierówności. Szukana liczba jest zatem liczbą zmian znaku w ciągu znaków liczb \((a',b',c',d',e',a')\). Niech \((X)\) będzie ciągiem znaków (\(+\), \(-\) lub \(0\)) tych liczb.

(A,B,C,D) Przykłady: \((X)=(0,0,+,-,0,0)\), \((X)=(0,0,+,-,+,0)\), \((X)=(0,-,+,-,+,0)\), \((X)=(+,-,+,-,+,+)\).

(E) Aby tak było, każde dwa sąsiednie znaki w ciągu \((X)\) musiałyby być przeciwne, co jest niemożliwe, ponieważ pierwszy i ostatni są takie same – jest to znak liczby \(a'\).

Zadanie z dnia 2020-12-15

Obwód czworokąta wypukłego, którego przekątne mają długości \(3\) i \(4\), może być równy:

(A) \(8\);
(B) \(9\);
(C) \(10\);
(D) \(12\);
(E) \(14\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BCD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(B,C,D) Niech przekątne przecinają się pod kątem \(\alpha\), w odległości \(\frac14\) od swych końców. Gdy \(\alpha\to0^\circ\) to obwód czworokąta dąży do \(8\). Jeśli \(\alpha\to180^\circ\), to obwód czworokąta dąży do \(13\). Wszystkie wartości w przedziale \((8,13)\) są możliwe, gdyż obwód czworokąta zmienia się w sposób ciągły wraz z kątem \(\alpha\).

(A,E) Niech \(ABCD\) będzie dowolnym czworokątem wypukłym, którego przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Na mocy nierówności trójkąta \begin{align*} & 2\max\{|AC|,|BD|\} < |AB|+|BC|+|CD|+|DA| \\ & \quad < |AP|+|BP|+|BP|+|CP|+|CP|+|DP|+|DP|+|AP| \\ & \quad = 2(|AC|+|BD|). \end{align*}

Zadanie z dnia 2020-12-16

Do ułożenia kwadratu o wymiarach \(25\times25\) mamy do dyspozycji dowolną liczbę płytek o wymiarach: \[ 1\times1, \quad 2\times2, \quad 1\times14, \quad 1\times15, \quad 1\times16. \] Liczba wykorzystanych płytek kwadratowych może być równa:

(A) \(1\);
(B) \(2\);
(C) \(3\);
(D) \(4\);
(E) \(5\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

DE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(D,E) Można ułożyć prostokąty \(10\times15\), \(11\times15\), \(10\times14\) i \(11\times14\), następnie umieścić je w kwadracie tak, żeby pozostawiały wolny kwadrat \(4\times4\), który przykryjemy czterema kwadratowymi płytkami. Aby otrzymać pięć kwadratowych płytek, wystarczy zdjąć jedną płytkę \(1\times15\) i zastąpić ją płytkami \(1\times1\) i \(1\times14\).

(A,B,C) Podzielmy kwadrat na \(25^2\) pól i nazwijmy \(9\) pól położonych na jego środku polami centralnymi. Jeżeli żadne z centralnych pól nie jest przykryte podłużną płytką, to potrzebne są co najmniej \(4\) płytki kwadratowe, aby zakryć narożne pola centrum.

W przeciwnym razie któreś z dziewięciu centralnych pól przykrywa długa płytka. Pomalujmy na czerwono wszystkie pola, leżące w tej samej kolumnie lub w tym samym wierszu, co to pole. Każda z pozostałych długich płytek przechodzi przez dokładnie jedno czerwone pole, więc liczba użytych długich płytek jest równa co najwyżej \(49-14+1=36\). Zakrywają one co najwyżej \(16\cdot36=576\) pól, pozostawiając \(49\) pól na kwadraty. W tym przypadku potrzeba co najmniej \(13\) płytek kwadratowych.

Zadanie z dnia 2020-12-17

Na płaszczyźnie leżą trzy okręgi rozłączne zewnętrznie. Rozważmy zbiór wszystkich punktów, będących środkami ciężkości trójkątów, których wierzchołki leżą na tych trzech okręgach, każdy na innym. Ten zbiór może być:

(A) okręgiem;
(B) kołem;
(C) kołem bez jednego punktu;
(D) pierścieniem kołowym;
(E) figurą inną niż te wymienione w punktach A, B, C, D.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(O_1\), \(O_2\) i \(O_3\) będą środkami tych okręgów, a \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) odpowiednio ich promieniami. Przez \(O\) oznaczmy środek ciężkości trójkąta \(O_1O_2O_3\). Wybierzmy punkty \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) na tych okręgach i niech \(S\) będzie środkiem ciężkości trójkąta \(A_1A_2A_3\). Podstawmy \(\vec{v}_1=\overrightarrow{O_1A_1}\), \(\vec{v}_2=\overrightarrow{O_2A_2}\), \(\vec{v}_3=\overrightarrow{O_3A_3}\). Wówczas \[ \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OO_i} + \vec{v}_i +\overrightarrow{ A_iS} \quad \text{dla } i=1,2,3. \] Dodając te równości stronami i korzystając z własności środka ciężkości trójkąta: \[ \overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{OO_2}+\overrightarrow{OO_3}=\vec{0}, \qquad \overrightarrow{SA_1}+\overrightarrow{SA_2}+\overrightarrow{SA_3}=\vec{0}, \] otrzymamy \(\overrightarrow{OS}=\frac13(\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3)\).

(B) Jeżeli żadna z długości \(r_1\) ,\(r_2\), \(r_3\) nie jest większa od sumy dwóch pozostałych, to otrzymamy koło o promieniu \(\frac13(r_1+r_2+r_3)\).

(D) Jeżeli któraś z długości \(r_1\) ,\(r_2\), \(r_3\) – powiedzmy \(r_1\) – jest większa od sumy dwóch pozostałych, to otrzymamy pierścień kołowy o promieniu zewnętrznym \(\frac13(r_1+r_2+r_3)\) i wewnętrznym \(\frac13(r_1-r_2-r_3)\).

(A,C,E) Punkty B i D wyczerpują wszystkie możliwości.

Uwaga! W powyższym rozwiązaniu założyliśmy, że trójkąt \(A_1 A_2 A_3\) może być zdegenerowny. W przeciwnym przypadku poprawną odpowiedzią jest również (E) oraz (C). Organizatorzy zdecydowali, że wszystkim osobom, które przesłały odpowiedź BD, BDE, BCDE, przyznane zostaną punkty.

Zadanie z dnia 2020-12-18

Liczby rzeczywiste \(x\), \(y\), \(z\) spełniają równości \[ x+y+z=1, \quad x^2+y^2+z^2=3. \] Liczba \(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}\) może przy takich założeniach być:

(A) równa \(2020\);
(B) mniejsza niż \(\frac1{2020}\);
(C) \(500\)-cyfrowa;
(D) całkowita;
(E) niewymierna.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

ADE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A,D,E) Zauważmy, że \(x+y+z=1\) to równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) i \((0,0,1)\), natomiast \(x^2+y^2+z^2=3\) to równanie sfery o środku w punkcie \((0,0,0)\) i promieniu \(\sqrt3\). Ta płaszczyzna i sfera przecinają się. Z tego wynika, że zbiór spełniających założenia punktów \((x,y,z)\) jest okręgiem, a więc zbiorem spójnym. Ponadto odwzorowanie \((x,y,z)\mapsto x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}\) jest ciągłe. Z tych dwóch rzeczy wnioskujemy, że jeśli wyrażenie \(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}\) przyjmuje pewne dwie wartości, to przyjmuje również wszystkie wartości między nimi. Pozostaje zauważyć, że \[ 1^{2020}+1^{2020}+(-1)^{2020}=3, \quad \left(\tfrac53\right)^{2020}+\left(-\tfrac13\right)^{2020}+\left(-\tfrac13\right)^{2020} > 2020. \]

(B) Z równości \(x^2+y^2+z^2=3\) wynika, że \(\max\{|x|,|y|,|z|\}\ge1\), więc \(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}\ge1\).

(C) Zauważmy, że jeśli \(|z|>\frac53\), to \(\frac12(x+y)^2\le x^2+y^2 < \frac29\) i w konsekwencji \(x+y+z < 1\). Wobec tego \(|z|\le\frac53\), analogicznie \(|x|,|y|\le\frac53\). Z tego wynika, że \[ x^{2020}+y^{2020}+z^{2020} \le 3\cdot\left(\tfrac53\right)^{2020} < \left(\tfrac53\right)^{2025} < 10^{450}, \] przy czym skorzystaliśmy tu z nierówności \(\left(\frac53\right)^9 < 100\).

Zadanie z dnia 2020-12-19

Trójkąt o bokach długości \(1\), \(a\), \(b\) ma pole równe \(P_1\), a trójkąt o bokach długości \(1\), \(a+1\), \(b+1\) ma pole równe \(P_2\). Z tego wynika, że:

(A) \(P_2 > P_1\);
(B) \(P_2 > \frac{100}{99}P_1\);
(C) \(P_2 < 100P_1\);
(D) \(P_2 > P_1+\frac12\);
(E) \(P_2 < P_1+1\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

AE

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(x=a+b-1\) i \(y=|a-b|\). Oba trójkąty istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy \(x > 0\) i \(0\le y < 1\). Korzystając ze wzoru Herona, można obliczyć \[ P_1 = \tfrac14\sqrt{(x+2)x(1-y^2)}, \quad P_2=\tfrac14\sqrt{(x+4)(x+2)(1-y^2)}. \] Przedstawmy jako funkcję zmiennych \(x\) i \(y\) wartości wyrażeń \begin{align*} f(x) & = \frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{x+4}x}, \\ g(x,y) & = P_2-P_1 = \tfrac14\sqrt{(1-y^2)(x+2)}\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right) \\ & = \sqrt{1-y^2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}. \end{align*}

(A) Dla każdego \(x\) zachodzi nierówność \(f(x) > 1\).

(E) Dla wszystkich \(x\) i \(y\) mamy \(g(x,y) < 1\).

(B,C) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((1,\infty)\), więc są w nim liczby dowolnie duże oraz dowolnie bliskie \(1\).

(D) \(g(x,y) < \sqrt{1-y^2}\), więc jej wartości mogą być dowolnie bliskie \(0\).

Zadanie z dnia 2020-12-20

Na wierzchołkach pięciokąta foremnego \(ABCDE\) zbudowano miasta. Z każdego z nich o pełnych godzinach odjeżdżają pociągi do dwóch miast sąsiednich, przy czym pierwszy pociąg o \(5^{00}\), a ostatni o \(23^{00}\). Czas podróży pociągu pomiędzy sąsiednimi miastami zawsze wynosi \(45\) minut.

O godzinie \(4^{45}\) Janusz jest w mieście \(A\), a Grażyna w \(B\). Oboje postępują w następujący sposób. O każdej pełnej godzinie, począwszy od \(5^{00}\) wybierają losowo sąsiednie miasto (każde z prawdopodobieństwem \(\frac12\), niezależnie od siebie) i wsiadają w pociąg, by do niego dojechać. Jeśli przybędą jednocześnie do tego samego miasta, to spotykają się na peronie, a potem kino, kawiarnia i spacer. Być może to wcale się nie wydarzy – wtedy każde z nich idzie spać o północy, po wyjściu z ostatniego pociągu.

Spośród niżej wymienionych zdarzeń najbardziej prawdopodobne jest, że Janusz i Grażyna:

(A) spotkają się o \(6^{45}\);
(B) spotkają się o \(7^{45}\);
(C) spotkają się o \(8^{45}\);
(D) spotkają się o \(9^{45}\);
(E) nie spotkają się wcale.

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

E

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(A,B,C,D) Wyróżnijmy dwa stany, w których Janusz i Grażyna:
B – są w miastach na końcach pewnego boku pięciokąta \(ABCDE\),
P – są w miastach na końcach pewnej przekątnej pięciokąta \(ABCDE\).

Niech \(b_n\) i \(p_n\) oznaczają prawdopodobieństwa, że po \(n\) godzinach od \(4^{45}\) Janusz i Grażyna znajdują się w stanie odpowiednio \(B\) i \(P\). Zachodzą wówczas równości \[b_{n+1}=\tfrac34b_n+\tfrac14p_n, \qquad p_{n+1}=\tfrac14b_n+\tfrac12p_n.\] Na ich podstawie możemy wyznaczyć wartości: \[ \begin{array}{ccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ b_n & 1 & \frac34 & \frac{10}{16} & \frac{35}{64} & \frac{125}{256} & \frac{450}{1024}\\ p_n & 0 & \frac14 & \frac{5}{16} & \frac{20}{64} & \frac{75}{256} & \frac{275}{1024}\\ \end{array} \] Prawdopodobieństwo tego, że spotkanie nastąpi po dokładnie \(n\) godzinach jest równa \(\frac14b_{n-1}\). Z tabeli odczytujemy, że jego wartości dla \(6^{45}\), \(7^{45}\), \(8^{45}\), \(9^{45}\) wynoszą odpowiednio \(\frac1{16}\), \(\frac5{64}\), \(\frac5{64}\), \(\frac{75}{1024}\). Wszystkie są mniejsze lub równe \(\frac5{64}\).

Zachodzi nierówność \[ 3b_{n+1}+2p_{n+1} = \tfrac{11}4b_n+\tfrac74p_n \ge \tfrac78(3b_n+2p_n). \] Prawdopodobieństwo tego, że spotkanie nie nastąpi wcale jest równe \[ b_{19}+p_{19} \ge \tfrac13(3b_{19}+2p_{19}) \ge \tfrac13\left(\tfrac78\right)^{14}(3b_5+2p_5) = \tfrac13\left(\tfrac78\right)^{14}\tfrac{475}{256} > \tfrac5{64}. \]

Zadanie z dnia 2020-12-21

Ciąg \((a_n)\) spełnia następujące zależności: \(a_1=1\) oraz \(a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}\) dla \(n\ge1\). Niech \(m\) będzie najmniejszą liczbą naturalną, dla której \(a_m\ge2020\). Wówczas:

(A) \(a_m=2020\);
(B) \(a_m < 2021\);
(C) \(m \ge 2040195\);
(D) \(m \ge 2040200\);
(E) \(m \ge 2040205\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

BC

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

(D,E) Zachodzi równość \(a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}\). Indukcyjnie wynika z niej, że \[ a_n^2 = 2n + \frac1{a_2^2} + \frac1{a_3^2} + \ldots + \frac1{a_{n-1}^2} \text{ dla } n\ge3, \] W szczególności \(2n \le a_n^2 < 3n\). Wobec tego \[ 2n + \tfrac13\left(\tfrac12+\tfrac13+\ldots+\tfrac1{n-1}\right) < a_n^2 \le 2n + \tfrac12\left(\tfrac12+\tfrac13+\ldots+\tfrac1{n-1}\right). \] Z nierówności \(\ln n < 1+\frac12+\ldots+\frac1n \le \ln n+1\) wynika, że \[ 2n+\tfrac13(\ln(n-1)-1) < a_n^2 \le 2n+\tfrac12\ln(n-1). \]

Dość zgrubnie szacując, otrzymamy na mocy ostatniej nierówności, że \(a_{2000000} < 2020 < a_{2050000}\). Dla \(2010000\le n \le 2050000\) mamy \(14 < \ln(n-1) < 15\), czyli dla takich \(n\) zachodzą nierówności \(2n+4 < a_n^2 < 2n+8\), z których wynika, że \[ a_{2040196} < 2020 < a_{2040198} < 2021. \] Trzeba jeszcze zauważyć, że ciąg \((a)\) jest rosnący – wynika to z jego równania rekurencyjnego.

(A) Zauważmy, że \(a_3=\frac53\). Dla pewnego \(n\ge3\) zapiszmy w postaci ułamka nieskracalnego \(a_n=\frac pq\). Ułamek \(a_{n+1}=\frac pq+\frac qp = \frac{p^2+q^2}{pq}\) również jest nieskracalny i ma nie mniejszy mianownik. Indukcyjnie wynika z tego, że dla \(n\ge3\) liczby \(a_n\) nie są całkowite.

Zadanie z dnia 2020-12-22

Prostopadłościan \(\mathcal{P}\) rozcięto na \(8\) mniejszych prostopadłościanów za pomocą trzech płaszczyzn, które są wzajemnie prostopadłe. Pięć z nich ma objętości: \(2\), \(4\), \(8\), \(9\) i \(12\). Objętość prostopadłościanu \(\mathcal{P}\) może należeć do przedziału:

(A) \(\langle32,40\rangle\);
(B) \(\langle36,44\rangle\);
(C) \(\langle40,48\rangle\);
(D) \(\langle44,52\rangle\);
(E) \(\langle48,56\rangle\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

CD

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(ABCDA'B'C'D'\) będzie prostopadłościanem \(\mathcal{P}\). Mniejsze prostopadłościany, do których należą wierzchołki \(A,B,\ldots\) nazwijmy tak jak te wierzchołki, a ich objętości oznaczmy opowiednio przez \(V(A),V(B),\ldots\). Niech \[ V(A)=V, \qquad V(B)=xV, \qquad V(D)=yV, \qquad V(A')=zV. \] Wtedy \[ V(C)=xyV, \qquad V(B')=xzV, \qquad V(D')=yzV, \qquad V(C')=xyzV. \] Zauważmy, że \(V(A)V(C)=V(B)V(D)\) i \(V(A)V(C')=V(C)V(A')\). Każde dwie spośród liczb \(2\), \(4\), \(8\), \(9\), \(12\) dają inny iloczyn, więc wierzchołki odpowiadające prostopadłościanom o tych objętościach nie mogą wyznaczać prostokąta. Z dokładnością do symetrii jest tylko jedna taka sytuacja – są to prostopadłościany \(A\), \(B\), \(D\), \(A'\) i \(C'\). Zachodzi równość \[ V(C')V(A)^2=V(B)V(D)V(A'). \] Po przeanalizowaniu rozkładów obu stron na czynniki pierwsze, dostaniemy \(V(A)=12\), \(V(C')=2\) oraz \(V(B)=4\), \(V(D)=8\), \(V(A')=9\), przy czym ostatnie trzy w dowolnej kolejności, ale to nie ma wpływu na wynik. Mamy \(x=\frac13\), \(y=\frac23\), \(z=\frac34\). Objętość prostopadłościanu \(\mathcal{P}\) jest równa \[(1+x)(1+y)(1+z)V = \tfrac43\cdot\tfrac53\cdot\tfrac74\cdot12 = 46\tfrac23.\]

Zadanie z dnia 2020-12-23

Choinka składa się z pnia, gałęzi, gałązek i igieł. Z pnia wyrastają gałęzie (niepokryte igłami), z gałęzi wyrastają gałązki, a na gałązkach rosną igły, przy czym z pnia wyrasta co najmniej jedna gałąź, z każdej gałęzi wyrasta co najmniej jedna gałązka, a na każdej gałązce rośnie co najmniej jedna igła. Powiemy, że igła należy do danej gałęzi, jeśli rośnie na gałązce, która z tej gałęzi wyrasta.

Pewna choinka ma \(2020\) igieł oraz następujące własności: z każdej gałęzi wyrasta inna liczba gałązek, wszystkie gałązki na całej choince mają różne liczby igieł, ale do każdej gałęzi należy po tyle samo igieł. Liczba gałęzi tej choinki może należeć do zbioru:

(A) \(\{3,4,5\}\);
(B) \(\{6,7,8,9\}\);
(C) \(\{10,11,12,\ldots,19\}\);
(D) \(\{20,21,22,\ldots,100\}\);
(E) \(\{101,102,103,\ldots,2020\}\).

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć odpowiedź do zadania.

AC

Najedź kursorem na poniższe pole, żeby zobaczyć wyjaśnienie do odpowiedzi.

Niech \(n\) oznacza liczbę gałęzi choinki z zadania.

(A,C) Dla \(n=10\) istnieje taka choinka. Liczby igieł na gałązkach kolejnych gałęzi mogą być następujące (jednemu wierszowi odpowiada jedna gałąź): \[{\color{yellow}202}\] \[{\color{red}51},151\] \[49,{\color{red}50},103\] \[45,46,{\color{red}48},63\] \[{\color{red}2},42,43,44,{\color{red}71}\] \[4,5,{\color{red}39},40,41,73\] \[6,7,8,36,{\color{red}37},38,70\] \[{\color{red}9},10,11,29,30,32,{\color{red}34},47\] \[12,13,{\color{red}14},24,25,26,27,28,{\color{red}33}\] \[15,16,17,18,19,20,21,22,23,31\] Dla \(n=5\) można w powyższej choince sparować gałęzie: pierwszą z drugą, trzecią z czwartą itd.

(B) Z treści zadania wynika, że \(n\mid2020\).

(D,E) Do każdej gałęzi należy \(2020/n\) igieł. Pewna gałąź ma co najmniej \(n\) gałązek, więc \[\tfrac{2020}n \ge 1+2+\ldots+n=\tfrac12n(n+1) > \tfrac12n^2.\] Stąd wynika nierówność \(n < \sqrt[3]{4040}<16\).